Trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistema ir sprendimo metodas

Architektūroje yra matematiniai pastatų skaičiavimai, iš kurių vienas yra tiesinių lygčių sistema. Linijinių lygčių sistema yra naudinga sankirtos taškų koordinatėms nustatyti. Norint pagaminti eskizą atitinkantį pastatą, būtinos teisingos koordinatės. Šiame straipsnyje aptarsime trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistemą (SPLTV).

Trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistema susideda iš kelių tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais. Bendra trijų kintamųjų tiesinės lygties forma yra tokia.

kirvis + pagal + cz = d

a, b, c ir d yra tikrieji skaičiai, tačiau visi a, b ir c negali būti 0. Lygtis turi daug sprendimų. Vieną sprendimą galima gauti prilyginant bet kurią reikšmę dviem kintamiesiems, kad būtų nustatyta trečiojo kintamojo vertė.

Vertė (x, y, z) yra trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistemos sprendinių rinkinys, jei reikšmė (x, y, z) tenkina tris SPLTV lygtis. SPLTV atsiskaitymų rinkinį galima nustatyti dviem būdais, būtent pakeitimo metodu ir eliminavimo metodu.

Pakeitimo metodas

Pakeitimo metodas yra tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodas, pakeičiant vieno kintamojo vertę iš vienos lygties į kitą. Šis metodas atliekamas tol, kol visų kintamųjų reikšmės gaunamos trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistemoje.

(Taip pat skaitykite: Dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistema)

Pakeitimo metodą lengviau naudoti SPLTV, kuriame yra lygčių, kurių koeficientas yra 0 arba 1. Čia pateikiami pakeitimo metodo sprendimo žingsniai.

  1. Raskite paprastų formų lygtį. Supaprastintų lygčių koeficientas yra 1 arba 0.
  2. Išreikškite vieną kintamąjį kitų dviejų kintamųjų pavidalu. Pavyzdžiui, kintamasis x išreiškiamas y arba z.
  3. Antrame etape gautas kintamas vertes pakeiskite kitomis SPLTV lygtimis, kad gautumėte dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistemą (SPLDV).
  4. Nustatykite SPLDV atsiskaitymą, gautą atlikus trečią žingsnį.
  5. Nustatykite visų nežinomų kintamųjų reikšmes.

Atlikime šį pavyzdinį problemą. Raskite tolesnių trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistemos sprendinių rinkinį.

x + y + z = -6… (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Pirmiausia (1) lygtį galime paversti z = -x - y - 6 į (4) lygtį. Tada galime pakeisti lygtį (4) į (2) lygtį taip.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Po to (4) lygtį galime pakeisti (3) lygtimi taip.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Mes turime x = -5 ir y = -3 reikšmes. Mes galime prijungti jį prie (4) lygties, kad gautume z reikšmę taip.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3 - 6

z = 2

Taigi, turime sprendinių rinkinį (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Pašalinimo metodas

Pašalinimo metodas yra tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodas, pašalinant vieną iš dviejų lygčių kintamųjų. Šis metodas atliekamas tol, kol lieka tik vienas kintamasis.

Pašalinimo metodas gali būti naudojamas visose trijų kintamųjų tiesinių lygčių sistemose. Tačiau šis metodas reikalauja ilgo žingsnio, nes kiekvienas žingsnis gali pašalinti tik vieną kintamąjį. Norint nustatyti SPLTV atsiskaitymų rinkinį, reikia mažiausiai 3 pašalinimo metodų. Šis metodas yra lengvesnis, kai jis derinamas su pakeitimo metodu.

Veiksmai, kuriuos reikia atlikti naudojant pašalinimo metodą, yra šie.

  1. Stebėkite tris SPLTV panašumus. Jei dvi lygtys turi tą patį kintamojo koeficientą, atimkite arba pridėkite abi lygtis taip, kad kintamojo koeficientas būtų 0.
  2. Jei nė vienas kintamasis neturi to paties koeficiento, padauginkite abi lygtis iš skaičiaus, kuris kintamojo koeficientą abiejose lygtyse padaro tą patį. Atimkite arba sudėkite dvi lygtis taip, kad kintamojo koeficientas būtų 0.
  3. Pakartokite 2 žingsnį kitoms lygčių poroms. Šiame žingsnyje praleistas kintamasis turi būti toks pat kaip ir 2 veiksme praleistas kintamasis.
  4. Gavę dvi naujas lygtis ankstesniame etape, naudodamiesi dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistemos (SPLDV) sprendimo metodu, nustatykite dviejų lygčių sprendinių rinkinį.
  5. Dviejų kintamųjų, gautų 4 žingsnyje, vertę pakeiskite viena iš SPLTV lygčių taip, kad būtų gauta trečiojo kintamojo vertė.

Mes bandysime naudoti pašalinimo metodą šioje problemoje. Nustatykite SPLTV sprendinių rinkinį!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2y + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV galima nustatyti pašalinus z kintamąjį. Pirmiausia sudėkite (1) ir (2) lygtis, kad gautumėte:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ... (4)

Tada padauginkite 2 iš (2) lygties ir padauginkite 1 iš (1) lygties, kad gautumėte:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Sužinoję x vertę, pakeiskite ją (4) lygtimi taip.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

X ir y reikšmes (2) lygtyje pakeiskite taip.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Taigi SPLTV sprendinių aibė (x, y, z) yra (5, 3, -1).