Kas yra matematinė indukcija?

Matematika turi bauginančią stigmą studentams, nors kuo daugiau jūs dažnai tyrinėjate ir praktikuojate matematiką, tuo bus linksmiau ir maloniau. Taigi dabar pakviesime jus sužinoti daugiau apie matematinę indukciją. Kas yra matematinė indukcija ir kam ji naudojama?

Pati matematinė indukcija gali būti interpretuojama kaip matematikos įrodymo technika. Jis naudojamas įrodyti specialius teiginius, kuriuose yra natūralūs skaičiai. Įrodymas naudojant šį metodą daro bendras išvadas.

Matematinės indukcijos įvadas

Įrodant naudojant matematinę indukciją, gaunamos bendros išvados. Išvadoms gauti naudojami dviejų tipų samprotavimai: dedukcinis ir indukcinis.

  • Dedukcinis samprotavimas yra samprotavimas, kuris prasideda nuo bendrų teiginių iki konkrečių teiginių. Šis požiūris vadinamas „bendro pobūdžio“ požiūriu, nes samprotavimai prasideda nuo bendro dalyko, o vėliau baigiami konkrečiais dalykais. Pavyzdys; visi obuoliai yra vaisiai, visi vaisiai auga ant medžių, todėl visi obuoliai auga ant medžių.
  • Indukcinis samprotavimas yra samprotavimas, kuris prasideda nuo konkrečių teiginių iki bendrų teiginių. Šis požiūris vadinamas „bendro pobūdžio“ požiūriu, nes teiginiai sudaromi iš konkrečių punktų, kad būtų galima padaryti visuotinai priimtas išvadas. Pavyzdys; Autobuso keleivis pastebi, kad kaskart, kai autobuso vairuotojas paspaus stabdžius, visi autobuso keleiviai bus stumiami į priekį.

(Taip pat skaitykite: Transformacija matematikoje, kaip kas?)

Be to, matematinės indukcijos metodas gali būti naudojamas įrodyti specialios hipotezės tiesą, kad ji būtų visuotinai priimta. Taigi šis metodas yra naudojamas kaip induktyvus samprotavimas.

Matematinės indukcijos taikymas

Matematinės indukcijos taikymą galima rasti įvairiose matematikos šakose. Matematikos hipotezės turi būti įrodytos, kad būtų visuotinai priimtos. Hipotezė paprastai galioja, jei įrodyta, kad ji teisinga visoms naudojamoms skaitinėms vertėms. Štai teiginio, kurį galima įrodyti, pavyzdys.

Įrodykite, kad -n nelyginių skaičių eilutės suma yra n2. Kur n yra natūralusis skaičius.

Sprendimas: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 taikomas kiekvienam n € A

Pagrindinis žingsnis: jei n = 1, gauname, kad P1 = 1 = 12 yra teisingas.

Indukcijos žingsnis: tarkime, kad n = k, P k yra teisinga. Bus parodyta, kad n = k + 1 atveju P (k + 1) = (k + 1) 2 yra teisinga.

Atkreipkite dėmesį į šiuos veiksmus:

Jei n = k, tada teisinga P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2.

Tada pridedant [2 (k + 1) -1] į abi puses

P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (įrodyta)

Matematinės indukcijos principai

Tegu P (n) yra sakinys, kuriame yra natūralieji skaičiai. Išraišką P (n) galima įrodyti visiems natūraliems skaičiams n, atlikus matematinės indukcijos žingsnius.

Toliau pateikiami įrodymai, naudojant šį metodą.

  1. Įrodykite, kad P (1) yra teisinga arba P (n) teisinga, kai n = 1.
  2. Jei P (k) yra teisinga, tada parodykite P (k + 1) teisingą kiekvienam teigiamam sveikam skaičiui k

Jei (1) ir (2) žingsniai yra teisingi, galima daryti išvadą, kad P (n) yra tiesa kiekvienam natūraliam skaičiui n. 1 žingsnis vadinamas baziniu žingsniu, o 2 žingsnis - indukciniu.