Matematinė logika, nuo neigimo iki biimplikacijos

Matematinė logika yra logikos ir matematikos šaka, apimanti matematinius logikos tyrimus ir šio tyrimo taikymą kitose srityse, už matematikos ribų. Matematinė logika yra glaudžiai susijusi su informatika ir filosofine logika, o pagrindinės temos yra formaliosios logikos išraiškos galia ir formalių įrodinėjimo sistemų dedukcinė galia. Matematinė logika dažnai skirstoma į šakas iš aibių teorijos, modelio teorijos, rekursijos teorijos, įrodymų teorijos ir konstruktyviosios matematikos. Šie laukai turi tuos pačius pagrindinius logikos rezultatus.

Pareiškimas

Matematinėje logikoje išmoksime nustatyti teiginio vertę. Pats teiginys yra sakinys, kuris tikrai turi tikrąją vertę arba tam tikrą melagingą vertę, bet ne abu.

Uždaras pareiškimas ir atviras pareiškimas

Tada teiginiai skirstomi į du tipus: uždarus teiginius (uždarus sakinius) ir atvirus teiginius (atvirus sakinius) . Uždaras teiginys yra teiginys, kurio tiesos vertė yra tikra, o atviras - teiginys, kurio tiesos vertė yra neaiški.

Teiginių pavyzdžiai:

  • 9 yra nelyginis skaičius >> šis teiginys yra teisingas
  • Džakarta yra Indijos sostinė >> šis teiginys yra klaidingas

Matematinėje logikoje teiginius vaizduoja raidės p, q arba r.

Atviras sakinys yra matematinis sakinys, kuris dar neturi tiesos vertės. Šiame sakinyje visada yra kintamųjų.

Atvirų sakinių pavyzdžiai:

  • A yra žinomas kaip lietaus miestas
  • Atha neina į mokyklą dėl ligos

Priešingai nei uždaruose sakiniuose, kur galima nustatyti tiesos vertę, atviri sakiniai vis tiek kelia abejonių, yra teisingi ir neteisingi. Todėl šio sakinio negalima pasakyti kaip teiginio.

Atvirą sakinį galima paversti teiginiu, jei sakinio kintamieji pakeičiami reikšme, kad sakinys turėtų tiesos vertę.

Pavyzdys:

Žinomas kaip lietaus miestas yra atviras sakinys, tuo tarpu

Bogoras yra žinomas kaip lietaus miestas - tai sakinys

Neigimas

Supratus, kas yra teiginys ir kas yra atviras sakinys, kitas žingsnis yra aptarti neigimą.

Neigimas arba dar vadinamas neigimas / neigimas yra teiginys, paneigiantis tai, kas duota. Teiginio atmintis gali būti suformuota prieš neigiamą teiginį pridedant „Netiesa, kad ...“. Tai žymima ~.

Pasakykite, kad p teisinga, tada ~ p klaidinga. Priešingai, jei p yra klaidingas, tada ~ p yra tiesa.

Teiginio neigimo pavyzdys:

  1. Džakarta yra Malaizijos sostinė

    Džakarta nėra Malaizijos sostinė

  2. 9 yra nelyginis skaičius

    9 nėra nelyginis skaičius

Sudėtiniai teiginiai

Tada teiginys toliau verčiamas į sudėtinius teiginius, kurie šiuo atveju yra suskirstyti į keletą tipų:

  1. Sąsaja
  2. Disjunkcija
  3. Poveikis
  4. Biimplikacija

1. Prijungimai

Jungtukas , kuris yra žymimas (Ʌ) yra junginys, patvirtinimas, su kartu "ir". Tai bus tiesa, jei kintamieji yra teisingi, ir klaidingi, jei vienas iš kintamųjų yra neteisingas.

Pavyzdys:

p: Džakarta yra pasaulio sostinė (teiginys su tikra verte)

q: Džakarta yra didmiesčių miestas (teiginys, turintis tikrąją vertę)

p ^ q: Džakarta yra pasaulio sostinė ir didmiesčių miestas (teiginys su tikromis vertybėmis)

2. Disjunkcija

Disjunkcija , žymima (V), yra junginys, kuris susidaro sujungiant du pavienius teiginius naudojant jungtį „arba“. Atskyrimas yra teisingas, jei vienas iš teiginių yra teisingas ir melas, jei abu teiginiai yra klaidingi.

Pavyzdys:

p: Džakarta yra pasaulio sostinė (teiginys su tikra verte)

q: Džakarta yra studentų miestas (teiginys, kurio vertė neteisinga)

pVq: Džakarta yra pasaulio sostinė arba studentų miestas (teiginys su tikra verte)

3. Poveikis

Potekstė yra du klausimai p ir q, kurie išdėstyti sakinio „jei p tada q“ forma. Tai žymima p -> q.

Pavyzdys:

p: Atha yra kruopštus mokydamasis (teiginys su tikra verte)

q: Ata išlaikė puikų balą (tikrosios vertės teiginys)

p-> q: Jei Atha yra kruopštus mokydamasis, tada Atha išlaikys puikų balą (teiginys teisingas)

4. Biomplikacijos

Biimplikacija yra sudėtinis teiginys, išreikštas sakinio "... tik tada ir" forma. Tai žymima pq, skaitykite „p tada ir tik tada, jei q“.

Pavyzdys:

p: 1 + 1 = 2 (teiginys teisingas)

q: 2 yra nelyginis skaičius (klaidingas teiginys)

pq: 1 + 1 = 2 tik tada, jei 2 yra nelyginis skaičius (neteisingos vertės sakinys)